Crema de calabaza:
En una cacerola, ablandar las cebollas y el ajo en aceite durante unos 5 minutos.
Agregar la calabaza y continuar cocinando hasta que esté tierna.
Agregar el caldo.
Llevar a ebullición y dejar cocinar 20 minutos, sin tapar.
Agregar la crema.
Usar una licuadora de inmersión para reducir a una puré suave.
Sazonar con sal y pimienta y mantener caliente.

Encaje crujiente de parmesano:
Colocar la parrilla en el centro del horno. Precalentar el horno a 375 F (190 C).
Cubrir dos bandejas para hornear con papel para hornear o mantas de silicona.
Extender aproximadamente 2 cucharadas (30 ml) de queso parmesano para cada encaje (tile), de modo que tengan un diámetro mayor que la abertura de los vasos en los que serviremos la crema de calabaza.

Cocinar durante 8 a 10 minutos, o hasta que las tiles tengan un color amarillo dorado.
Asegurarse de que el parmesano no esté demasiado dorado, ya que tendría un sabor muy amargo.
Dejar enfriar completamente.

Ensamblaje:
Verter la crema de calabaza en cada vaso.
Colocar un encaje de parmesano plano sobre la abertura del vaso y decorar con hojas de apio.