Faire chauffer le beurre dans une casserole, à feu moyen. Ajouter oignons, échalotes et ail. Cuire 5 minutes à feu doux, sans brunir. Ajouter le reste des ingrédients, bien mélanger et porter à ébullition. Poursuivre la cuisson 18 minutes à feu doux. Placer le gigot dans un plat à rôtir. Verser la sauce barbecue sur le gigot. Laisser mariner 1 à 2 heures au réfrigérateur. Préchauffer le four à 375 F. Retirer le gigot du réfrigérateur et le mettre au four. Faire cuire 45 minutes en badigeonnant fréquemment durant la cuisson. Saler et poivrer. Préchauffer le gril à feu moyen. Huiler la grille. Retirer le gigot du plat à rôtir et le placer sur la grille chaude. Ne pas couvrir. Faire cuire 20 minutes, en badigeonnant de sauce 7 à 8 fois durant la cuisson. Retourner le gigot 2 à 3 fois. Assaisonner au goût.